tesettür ve felsefe bilgi
indirgenmeleri gerekir ve ikinci olarak, matematiğin dayandığı öğretisel temeller, salt mantıksal geçerlilik taşıyan ilkelerden elde edilmelidir. Burada aksiyomatik yöntemin dile uygulanmasında olduğu gibi, matematiksel doğruları mantıksal doğrulara indirgeme hiç de basit bir şey olarak anlaşılamaz. Bu indirgeme işinde, matematiksel kavramların yetkin içeriksel anlamlarına dayanmaktan sakınılır. Matematiksel kavramlar aslında kesin formel özelliklerini aksiyomlar aracılığıyla kazanırlar. Bu yüzden matematiksel ifadeler genel olarak "eğer-öyleyse" savlanna indirgenebilirler ve tüm aksiyom sistemi, bir koşullu önermeler topluluğu olarak görülebilir. Buna karşılık mantıksalcılık, matematiksel kavramların tüm içeriğini mantıksal kavramlara indirger ve benzer şekilde, matematiksel doğruların içeriksel anlamlannı mantıksal doğrulann özel halleri sayar. Mantıksalcı yönelim, burada, örnek olarak sayı kavramının kısa bir çözümlemesi yapılarak
vardır ki, bu kümede M E m ile verilmiş bir M kümesi ( tir ki, M, m eJemanJannı tam olarak içermektedir) ve verilmiş bir N kümesi vardır ve burada aşağıdaki koşullar rilmiştir; Hem M'nin ve hem N'nin elemanlan olan hiçbir ve sözkonusu obje, buna göre ancak eleman olarak A’ya aittir ya M ya da N’ye aynı zamanda aitse. Böylece 1 sayısı tanımlan^!’ dan, şimdi 2 sayısı 1 + 1 ile, 3 sayısı 1+2 ile, 4 sayısı 1+3 ile, v.b. leştirilebilir. Doğal sayılar genel kavramı da böyJece tanımlanabiijj. Bir r objesi ancak, r bir K kümesine aitse bir doğal sayıdır ve mesi onu ve herhangi bir g elemanını 1+g olarak içeren bir küme ise|jj böyledir.
Yukarıdaki türden çözümlemeler, Russell ın antinomilerinin keş. finden de önce, Frege tarafından genişliğine yapılmıştır. Bu antınomi. 1er, matematikteki mantıksal çelişkilerin görülmesini sağlamışlarsa da, uzun süre tehlikeli sayılmamışlardır. İlk kez Russell kendisi tarafından geliştirilen bir yöntemle bu antinomileri gidermeyi denedi. Buna tipler kuramı denir. 0 (sıfır) tipine ait teklikler vardır; 1 tıpı, teklıklenn kümesidir; 2 tipi tekliklerin kümesinin kümesidir, vb. Genel olarak n-ı-1 tipine ait objeler, n tipine ait objelerin kümeleridir. İçerme bağlantısı, buna göre, ancak doğrudan birbirini izleyen tiplerin arasında oluşabilir. Bu ilkeye karşıt ifadeler, anlamsız olduklanndan bir yana atılır; özellikle de oeoe (M E M) ifadesi. (Buna karşılık, örneğin, oeoe (A^ E yani "2.tipteki A kümesi 3.tipteki B kümesinin hiçbir elemanını içermez." ifadesi anlamlıdır). Antinomiler, bu sistem içinde artık ortaya çıkmazlar; buna karşılık matematiğin öğretisel ilkelerinin türetilmesinde güçlüklere çarpılır. Bu güçlükler, az veya çok. sonradan düşünülmüş ekleme aksiyomlarla giderilebilir. Örneğin böylece bu sistem içinde
özel bir sonsuzluk aksiyomuna başvurmak zorunlu olur. Bu aksiyom gerçek evrenin özellikleri üzerine (yanlış olması olanaklı) bir hipotezi içerir; hele matematiksel ifadelerin geçerliliği empirik hipotezlerin doğruluğu ve yanlışlığından bağımsız olduğu sürece.
Russell’ın izlediği yol, ne var ki, güçlüklerin giderilmesi konusundaki tek deneme değildir. Burada, Russell'ın antinomisinin, ancak, herhangi seçilmiş bir koşulun bir kümeyi tanımladığının kabulü halinde türediği düşünülmelidir. Bu yüzden antinomi, bu kabulün yadsınması olarak görülebilir. Küme öğretisi, herşeyden önce şu soruyu yanıtlama-lıdır: Kümeleri hangi koşullar tanımlarlar? Tipler kuramı bu soruya, köktenci bir yanıt verir: Pek çok koşul. Bu konuda, özellikle de antino-miye yol açan "x, x'in bir elemanı değildir." koşulunu anlamsız kılanı da içinde olmak üzere pek çok koşul sözkonusudur. Ancak kümeler, tanımlayıcı koşullann yukarıdaki yöntemle kullanılması sırasında olduğu gibi, zaten kaçınılmaz olarak, "tüm x objelerinin kümesi, öyle ise" gibi bir ifadeye, yani tanımlayıcı koşulun ifadenin içinde zaten bulunduğu bir ifadeye başvurularak oluşturulmuş olurlar. Bu sözel öğe tipler kuramında da sözü edilen sınırlamalara tâbidir. Öbür yolu denemek, yani "öyle ise'nin ardında duran kullanımın hiçbir tip sınırlamasına bağlı olmadığı bu yolu denemek, ne var ki, önde gelen ifadede "0 bir elemandır." veya sık sık söylendiği gibi, "bir M kümesi vardır, öyle ise XEM'dir." olduğu yerde, "x objeleri'ni "x elemanı" ile sınırlamaya yol açar. Bu temeller üzerinde Russell'ın antinomilerini devreden çıkarmak denenirse, bir çelişki yerine, şöyle bir ifade pekala kazanılır: Eleman olarak hiçbir şey içermeyen tüm kümelerin kümesi -hiçbir- eleman değildir. Russell'ın antinomisi böylece bir koşulun bir kümeyi tanımlamadığı savını kanıtlamak yerine, her kümenin bir eleman olduğu kabulünün yadsınması olarak kendini gösterir. Bu ikinci yorum izlendiğinde, kümeler öğretisi için görev, uygun aksiyomlarla, eleman olmayanlan elemanlardan ayırmak olur (eleman olmayanlar kategorisinin mutsuz bir biçimde himaye ettiği kümeler düzenlemek yerine). Ve bu görev ancak
3. SEZGİCİLİK, META-MATEMATİK VE MODERN KURGUCULUKLAR (KONSTRÜKTİVİZMLER)
Matematiğin içinde hiçbir çelişki olmaması için sağlam birgaiü^ ti arandı mı, matematiksel-mantıksal kanıtlama alanında herhangi tu, şekilde düşünülmüş görünürdeki her türlü mantıksal çıkanm işleuit. rinden kaçınmak ve ayrıca kurgucu (konstrüktif) bir kalkış noktasından hareket etmek zorunludur. Bu şu demektir: Kümeler türünden materaa tiksel objelere "kendi başına mevcut şeyler" gözüyle bakılamaz, tersine bunlar zihinsel kurgular olarak görülmeli, onlara ancak apaçık kurgusal ilkelerin bir kurulmuşluk, bir yapı sağladıklan saptanm^ıdır.Bu kalkış noktasını ilk kez özellikle vurgulayan, Brovver ve Weyl in matematiksel sezgicilikleri olmuştur. Bu gibi kalkış noktalanndan çok farklı sonuçlara vanJır. Önce, aktüel-sonsuz kavramı bir yana bırakılmalıdır. 1, 2, 3, ... tesettür gibi doğal sayılar dizisi, sonlu bir bütünlük olarak kav-ranmalıdır; o, çok sayıda, hatta sonsuz doğal sayılardan oluşmuş olarak kavranamaz; tersine o, sadece potansiyel bir şey, yani sınırsız ilerlemeler olanağı olarak görülebilir. Bunun sonucu, üçüncü halin olmazlığıü-kesinin sınırsız bütünlüklerde a priori olarak artık kullanılamayacağıdır. Bir sonlu haller topluluğu varsa, biz bir varoluş savını denetleyerek dogrulanz (örneğin "Münih'de 89 yaşında en az bir dul kadın vardır." av,, polis kayıtlarına bakılarak denetlenebilir). Buna karşılık "E özelliği taşıyan doğal sayılar vardır." savı, ilke olarak h. u- ’ ye başvurularak, doğrulanamaz; çünkü tüm sonsuz"^^^ tek elden geçirmeyi tasarlamak anlamsızdır. Bövi^
cak, E özelliğine sahip belirli bir sayı somut olarak gösterilmişse anlamlı olur. Sezgici yoruma göre, bu varoluş savının yadsınması, benzer şekilde, ancak, bu "kesin bir yadsıma" olarak yorumlandığında, yani "E özelliğine sahip bir doğal sayının varolamayacağı kanıtlanmalıdır." ifadesinin bildirdiği bir anlama sahip olur. "E özelliğine sahip bir sayı kanıtlanabilir (gösterilebilir) veya hiçbir sayının E özelliği veremediği kanıtlanmalıdır." seçeneği, ne var ki hiçbir tam ayrıklık oluşturmamakta ve bu nedenle üçüncü halin olmazlığı ilkesinin kullanımı, "E özelliğinde bir sayı ya vardır, ya da böyle bir sayı yoktur." formu içinde kendini göstermektedir.
Giderek, sezgici yoruma göre, "impredikatif kavramlar" denilen her türlü kavramdan kaçınmak gerekir. Bunlar ancak, bir matematiksel nesne (bir sayı veya bir nokta), zaten kendisi bir nesneye ait bir bütünlüğe bağlı ise öne konulabilirler. Matematiksel nesnelerin "kendinde", "kendi başına" nesneler olarak oluştukları yorumuna itibar edildiği sürece, bu modele hiçbir sonradan düşünülmüş şey sokulamaz. Buna karşılık tüm matematiksel şeylerin kurgu yoluyla meydana geldikleri yorumu savunulursa, böyle şeylerin, yine bu şeylerin kendilerinin ait oldukları bir bütünlüğe bağlı olarak tanımlanmalan bir mantıksal döngü olur. Klasik matematikte hem tertium non datur (üçüncü halin olmazlığı), hem de impredikatif kavram kuruluşlan sık sık kullanıldığından, katı sezgiciliğin klasik matematiğin büyük bir bölümünü dışta bırakma tehlikesi ortaya çıkar. Bu durumdan kurtulmak için, Hilbert bir kanıtlama kuramı veya meta-matematik ile, aşağıdaki çıkış yolunu denedi: Herşeyden önce klasik matematiğin kendisini, onu tüm çıkanm tarzla-n ve kavram kuruluşlanyla birlikte, bir aksiyomatik sistem konumu içinde biçimlendirmek gerekir. Bu formelleştirme, bir formel kalkül meydana getirmek yoluyla, tamamen mantığa dayanmalıdır. Bu kalkül, içeriksel yorumlandığında istenilen matematiksel ifadeleri verir. Bu ifadelerin yorumlanmasında, ne var ki, bu kalkül tamamiyle gözardı edilebilir. Böylece mantık ve matematik, artık "işaretler ve formlarla oynanan bir oyun"a indirgenmiş olur. Tamamen kalkülleştirilmiş hal- tesettür
